exponentielle - Type Bac
Exercice :
Soit la fonction f définie par f(x) = (ex – 1) / (xex + 1).
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan(O; i; j)
PARTIE A
1. Soit h la fonction définie sur R par : h(x) = xex + 1.
Etudiez le sens de variation de h et démontrez que h(x) > 0 pour tout x de R.
2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x + 2 – ex
a) Déterminer les limites de g en +∞ et en -∞.
b) Etudier le sens de variation de g et dresser le tableau de variation de g.
c) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions dans R.
On note α et β ces solutions, avec α > β.
d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
PARTIE B
1. Déterminer les limites de f en +∞ et en -∞. Interprêter graphiquement les résultats trouvés.
2.
a) Montrer que pour tout x de R, on a f'(x) = (exg(x)) / (xex + 1)²
b) En déduire le sens de variation de f, et dresser le tableau de variation de f.
3. Déterminer une équation de la tengeante (T) à la courbe (C) au point d'absisse 0.
4. Tracer (C) et (T) avec pour unités graphiques 2cm sur l'axe des absisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
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